Beobachtungen über allgemeine magische 4x4 Quadrate mit Einträgen aus symmetrischen Mengen
© H.B. Meyer         zu klassischen magischen 4x4 Quadraten siehe hier         to page in English language         magische Quadrate und Würfel

1529 143
31271911
25 93321
17233513

 ist ein allgemeines magisches 4x4 Quadrat:
 - die 16 Einträge sind verschiedene natürliche Zahlen,
 - die 4 Zeilen-, die 4 Spalten- und die 2 Diagonalensummen ergeben das gleiche Resultat (=88).


Die Menge T={1,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,43} der Einträge ist eine symmetrische Menge, d.h.: für jedes x aus T gehört die Zahl N+a-x ebenfalls zu T; hierbei bedeutet N=43 die größte Zahl in T und a=1 die kleinste.

Ziel dieser Webseite   Es werden allgemeine magische 4x4 Quadrate mit Einträgen aus symmetrischen Mengen (GMS) betrachtet:
welche und wie viele GMS gibt es und welche Struktur haben sie und die Mengen ihrer Einträge.

Beobachtung 1   Es genügt, nur GMS mit Eintrag 1 zu betrachten: lautet der kleinste Eintrag a, dann führt Subtraktion von a-1 von allen Einträgen zu einem GMS mit Eintrag 1.
Jedes klassische magische 4x4 Quadrat ist ein GMS.

Beobachtung 2   Für jedes GMS mit kleinstem Eintrag 1 und größtem Eintrag N beträgt die magische Summe 2(N+1). Es gibt 8 Paare von Einträgen mit Summe N+1. Werden die beiden Einträge eines solchen Paares im Quadrat durch eine Linie verbunden, so entsteht die "Verbindungsfigur", engl.: connection figure (CF) des betreffenden magischen Quadrats (das Bild zeigt die CF für das obige GMS Beispiel). Eine CF kann stets durch eine horizontale Zeichenkette mit 16 Einträgen beschrieben werden, z.B. (1122 3456 5768 4873) für die abgebildete CF. Die Zeichenkette ist als 4x4-Matrix zu lesen und gleiche Einträge sind zu verbinden.

Beobachtung 3   Es sei M ein GMS. Wenn jeder Eintrag x ersetzt wird durch N+1-x, (N: größter Eintrag), dann entsteht wieder ein GMS mit der gleichen CF wie M, das Komplement von M. Die Einträge in den grün markierten Bereichen von M haben stets die Summe 2(N+1):
a
b
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b
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g
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o
p

Beobachtung 4   Stellt 01 ein GMS dar, dann stellt auch jedes der 31 Quadrate 02 bis 32 ein GMS dar:
01
a
b
c
d
e
f
g
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j
k
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n
o
p
02
d
h
l
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c
g
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03
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04
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c
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06
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07
a
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09
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c
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10
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12
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13
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14
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15
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16
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17
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g
23
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26
g
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b
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g
30
g
h
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c
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31
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b
n
j
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o
k
32
k
o
c
g
l
p
d
h
i
m
a
e
j
n
b
f

Dies sind die 32 Transformationen für GMS. 02, 03, und 04 repräsentieren Drehungen 01, während 05 und 06 für Spiegelung von 01 an einer horizontalen bzw. vertikalen Achse stehen. 07 und 08 repräsentieren Spiegelungen von 01 an den Diagonalen.

Proposition 1  Es gibt genau 145 verschiedene CF für GMS.
Dies kann durch Anwendung von linearer Algebra gezeigt werden. Eine Beweisskizze (in engl. Sprache) ist hier, und eine Datei mit den 145 möglichen CF findet sich hier.

Definition  Zwei CF heißen stark äquivalent, wenn sie durch eine Drehung oder Spiegelung (eine Transformation 01-08 aus Beobachtung 4) aufeinander abgebildet werden können. Zwei CF heißen äquivalent, wenn sie durch irgend eine der 32 Transformationen aus Beobachtung 4 aufeinander abgebildet werden können.

Beispiel

    Die erste und die zweite CF sind stark äquivalent (via Transformation 02); die erste und die dritte CF sind äquivalent (via Transformation 14). Als Zeichenketten:
(1122 3456 5768 4873) ist stark äquivalent zu (1234 1526 7863 7458),
(1122 3456 5768 4873) ist äquivalent zu (1212 3456 5768 8347).

Proposition 2  Die 145 CF für GMS lassen sich vermöge starker Äquivalenz in 34 Äquivalenzklassen einteilen, dies bedeutet: es gibt 34 verschiedene CF, wenn von Drehungen oder Spiegelungen abgesehen wird.
Wird lediglich Äquivalenz betrachtet, so ergibt sich eine Einteilung der 145 CF in 12 Äquivalenzklassen EC01,...,EC12.
Die 12 Klassen und die 34 CF sind:

EC01: (1122 3344 5566 7788), äquivalente CF: 4
[Dudeney IV,V]
EC02: (1122 3443 5665 7788), äquivalente CF: 8
[Dudeney IX,VIII,VII,X]
       
EC03: (1122 3456 7788 4365), äquivalente CF: 8
[Dudeney XI,XII]
EC04: (1122 3456 5678 8347), äquivalente CF: 32
 
       
EC05: (1122 3456 5768 4873), äquivalente CF: 32 EC06: (1122 3443 7878 6543), äquivalente CF: 16
           
EC07: (1122 3456 6783 8547), äquivalente CF: 16
 
EC08: (1221 3443 5665 7887), äquivalente CF: 2
[Dudeney VI]
     
EC09: (1234 5167 7385 2648), äquivalente CF: 16
 
EC10: (1234 5678 8765 4321), äquivalente CF: 1
[Dudeney III]
     
EC11: (1234 2567 8653 4871), äquivalente CF: 8
 
EC12: (1234 2143 5678 6587), äquivalente CF: 2
[Dudeney II,I]
   

Bemerkung  Die Klassennummern I bis XII von Dudeney für klassische magische 4x4 Quadrate (N=16) sind in Klammern angegeben.
Die jeweils erste angegebene CF (mit Rand) zusammen mit der zugehörigen Zeichenkette in jeder der Klassen EC01-EC12 wird als Repräsentant R01-R12 ihrer Klasse genommen.

Beobachtung 5  Es sei M ein GMS. Dann gibt es genau eine der 32 Transformationen von Beobachtung 4, die M abbildet auf ein GMS mit a<d,f,g,j,k,m,p (a ist das kleinste Diagonalelement), d<m und b<c. Solche magischen 4x4 Quadrate heißen reduziert. Jedes GMS kann also auf ein eindeutig zugeordnetes reduziertes GMS abgebildet werden.

Beobachtung 6  Es sei T eine symmetrische Menge natürlicher Zahlen (mit 16 Elementen, darunter die 1). Zwei Möglichkeiten, die Anzahl der GMS mit Einträgen aus T und einer vorgegebenen festen CF zu zählen, sind:
- zähle die Anzahlensumme u der reduzierten GMS mit Einträgen aus T, wobei alle zu der gegebenen CF äquivalenten CF zugelassen sind,
- zähle die Anzahl v aller GMS mit Einträgen aus T für den Repräsentanten der Klasse der gegebenen CF.
Offenbar gilt: 32u = vw, dabei bedeutet w die Anzahl (in Proposition 2 jeweils angegeben) der zur vorgegebenen CF äquivalenten CF.

Proposition 3  Für jede symmetrische Menge T (aus 16 natürlichen Zahlen, mit 1) läßt sich der Vektor (u01|u02|...|u12) bestimmen, wobei uxy die Anzahl reduzierter GMS M mit Einträgen aus T bedeutet, und die CF von M zur Klasse ECxy gehört. Wenn N<61 für das größte Element N von T gilt, dann gibt es genau 154 Möglichkeiten für den Vektor (u01|u02|...|u12).
Beweis per Computer-Experiment; eine Datei (in engl. Sprache) der 154 möglichen Vektoren ist hier.

Proposition 4  Für 9 der 12 Klassen kann die Anzahl aller GMS mit Einträgen aus einer beliebigen symmetrischen Menge natürlicher Zahlen für den Repräsentanten Rxy nur zwei Werte annehmen: 0 oder eine konstante Anzahl vxy:

Klasse
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
vxy
384
v
v
2
2
4
4
v
4
384
16
384

 v bedeutet: variabel, mehr als zwei mögliche Werte.


Beweis: siehe unten, Sätze 01-12.

Vermutung  Es gibt auch für 60<N keine anderen Möglichkeiten für (u01|u02|...|u12) als die 154 in Proposition 4 genannten. Dies bedeutet insbesondere, dass es keine anderen Werte v02, v03, und v08 gibt als die in den Sätzen 02, 03 und 08 (siehe unten) beschriebenen.

12 Sätze  Für jede der Äquivalenzklassen EC01-EC12 bestehen Sätze zu den Fragen: wie viele GMS für ihre jeweiligen Repräsentanten gibt es und welche Strukturen können diese GMS und die Mengen ihrer Einträge haben. Die 12 Sätze (Theoreme) finden sich hier (in engl. Sprache):
Theorem 01, Theorem 02, Theorem 03, Theorem 04, Theorem 05, Theorem 06, Theorem 07, Theorem 08, Theorem 09, Theorem 10, Theorem 11, Theorem 12.

Zusammenstellung ausgewählter Ergebnisse

(S01)  Die Menge T17 = {1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15,16,17} erlaubt 260 reduzierte GMS, somit 32*260=8320 GMS insgesamt (vergleiche mit klassischen magischen Quadraten).
Es ist eine alte Vermutung (siehe Referenzen unten), dass diese Anzahl nicht übertroffen werden kann.
Die Vermutung ist anscheinend bis heute ebenso ungeklärt wie die Frage, ob noch andere Vektoren als die 154 genannten existieren.
Es gibt symmetrische Mengen, die gleich viele GMS erlauben, wie es klassische magische 4x4 Quadrate gibt, nämlich 7040.
Jedoch kann sich die Struktur dieser GMS ziemlich von der Struktur klassischer magischer 4x4 Quadrate unterscheiden.
(siehe Vectors154.pdf).
  u  v
  pon m lkj i hgf e dcb a
a x   z  x wy  w xy zy y 
b  x z  x  yw w  yx yz  y
c  z x  wy  x xy  w y  zy
d z   x yw x  yx w   y yz
e  x wy x   z zy y   w xy
f x  yw  x z  yz  y w  yx
g wy  x  z x  y  zy xy  w
h yw x  z   x  y yz yx w 
i  w xy zy y  x   z  x wy
j w  yx yz  y  x z  x  yw
k xy  w y  zy  z x  wy  x
l yx w   y yz z   x yw x 
m zy y   w xy  x wy x   z
n yz  y w  yx x  yw  x z 
o y  zy xy  w wy  x  z x 
p  y yz yx w  yw x  z   x
   T17:

Anzahl
magischer
4x4 Quadrate
mit

u + v = 18



 
w
x
y
z
    0 Quadrate 
   32 Quadrate 
  384 Quadrate 
  608 Quadrate 
 2336 Quadrate 


(S02)  Die Klassen EC01, EC10 und EC12 sind isomorph, d.h.: für eine bestimmte symmetrische Menge mit 1 und drei CF, aus jeder der Klassen eine, gibt es eine 1-zu-1-Abbildung von der Menge aller 384 GMS mit CF aus einer Klasse auf die Menge aller 384 GMS mit CF aus einer anderen der drei Klassen. Damit kann jedes GMS mit einer CF aus einer der Klassen EC01, EC10, oder EC12 durch eine von 384 Abbildungen aus nur einem einzelnen klassischen magischem 4x4 Quadrat gewonnen werden, nämlich aus

 116 413
 611 710
15 214 3
12 5 9 8

(siehe Theoreme 01, 10, und 12).
Die Mengen der Einträge dieser GMS sind gekennzeichnet durch eine "verallgemeinerte Binärdarstellung" ähnlich zur Menge {1,2,...,16}, wo jedes Element < 16 sich eindeutig als Linearkombination der Zahlen 1,2,4 und 8 darstellen lässt (siehe Theorem 1).

(S03)  Die Klassen EC04 and EC05 sind ebenfalls isomorph. Die Mengen der Einträge (mit 1) von GMS mit CF aus diesen Klassen sind sehr speziell: die Differenz-Vektoren von Einträgen sind stets von der Form t*(4,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,4) (siehe Theoreme 4 und 5).

(S04)  Es gibt einige Einbettungen von Mengen von GMS mit Verbindungsfigur Rxy (Repräsentant von ECxy) in die Menge von GMS mit einer CF, die eine andere Klasse repräsentiert; im Einzenen:
R03 --> R01 <--> R10 <--> R12 --> R08; R04 <--> R05 --> R02; R09 --> R02; R06,R07 --> R11 --> R02.
Alle diese Einbettungen lassen jeweils die Menge der Einträge im GMS invariant (siehe die zugehörigen Theoreme).

(S05)  Die in (S04) genannten Einbettungen zeigen: eine symmetrische Menge T erlaubt ein GMS dann und nur dann, wenn T ein GMS mit CF R02 oder R08 zulässt.

(S06)  Wenn eine symmetrische Menge T ein GMS mit Eintrag 1 zulässt, dann erlaubt T mindestens 128 verschiedene GMS mit Eintrag 1; dies folgt aus (S05) und den Theoremen 02 und 08.

(S07)  Es sei T eine symmetrische Menge mit 1 und ungeradem größten Element N. Wenn die Anzahl der geraden Elemente < N/2 von T ungerade ist, dann existiert kein GMS mit Einträgen aus T. Dies ergibt sich aus den Theoremen 02 und 08 durch Betrachten der Zweierreste jeweils der Mengen (*) und (**).

Referenzen  Anscheinend wurden die 34 CF schon 1986 in einem japanischen Journal genannt, siehe [1]. Die Figuren sind in [4] abgebildet und in einem Anhang dieses Buchs findet sich die originale Diskussion des Konzepts "fertility" für symmetrische (und auch nicht-symmetrische) Mengen (mit "fertility" is die Anzahl möglicher GMS zu einer vorgebenen Menge von Einträgen gemeint); siehe auch [3]. Der Rekord von 260 reduzierten GMS für N=17, wurde in [1] vermutet. Der Artikel [2] behandelt unter anderem Strukturen von GMS für verschiedene CF, die 12 Äquivalenzklassen finden sich ebenfalls dort.

[1] Gakuho Abe: Unsolved Problems on magic Squares, Discrete Mathematics Volume 127, Issues 1-3, 15 March 1994, Pages 3-13
[2] Y.V. Chebrakov, Analytical Formulae and Algorithms for Constructing Magic Squares from an arbirary Set of 16 Numbers, Smarandache Notations J. (1997) 8 (1-2-3)
[3] Harvey Heinz: Magic Squares Update 2009
[4] Lee Sallows: Geometric Magic Squares: A Challenging New Twist Using Colored Shapes Instead of Numbers, Dover Publications 2012

Letzte Aktualisierung: 2. August 2016