Sätze über klassische magische 4x4 Quadrate
© H.B. Meyer     zu allgemeinen magischen 4x4 Quadraten siehe hier     to page in English language

Zusammenfassung:   Beobachtungen an klassischen magischen 4x4 Quadraten führen zu einer notwendigen und hinreichenden Bedingung dafür, dass 4 natürliche Zahlen (q|r|s|t) als Zeile oder Spalte eines magischen 4x4 Quadrats auftreten. Beziehungen zwischen Einträgen klassischer magischer 4x4 Quadrate werden betrachtet und eine Einteilung von klassischen magischen 4x4 Quadraten in 15 Typen wird vorgenommen.

Betrachtet werden klassische magische 4x4 Quadrate, sie haben die Form:
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p

wobei 0 < a,b,...,o,p < 17 gilt, alle Einträge verschieden sind, und alle Zeilen-, Spalten- und Diagonalensummen gleich sind (=34).

Beobachtung 0    Die nachstehenden 31 Quadrate sind ebenso klassische magische 4x4 Quadrate:
  02
d
h
l
p
c
g
k
o
b
f
j
n
a
e
i
m
 03
p
o
n
m
l
k
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
 04
m
i
e
a
n
j
f
b
o
k
g
c
p
l
h
d
 05
m
n
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i
j
k
l
e
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g
h
a
b
c
d
 06
d
c
b
a
h
g
f
e
l
k
j
i
p
o
n
m
 07
a
e
i
m
b
f
j
n
c
g
k
o
d
h
l
p
 08
p
l
h
d
o
k
g
c
n
j
f
b
m
i
e
a
09
a
c
b
d
i
k
j
l
e
g
f
h
m
o
n
p
 10
d
l
h
p
b
j
f
n
c
k
g
o
a
i
e
m
 11
p
n
o
m
h
f
g
e
l
j
k
i
d
b
c
a
 12
m
e
i
a
o
g
k
c
n
f
j
b
p
h
l
d
 13
m
o
n
p
e
g
f
h
i
k
j
l
a
c
b
d
 14
d
b
c
a
l
j
k
i
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f
g
e
p
n
o
m
 15
a
i
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c
k
g
o
b
j
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n
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p
 16
p
h
l
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f
j
b
o
g
k
c
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e
i
a
17
k
i
l
j
c
a
d
b
o
m
p
n
g
e
h
f
 18
j
b
n
f
l
d
p
h
i
a
m
e
k
c
o
g
 19
f
h
e
g
n
p
m
o
b
d
a
c
j
l
i
k
 20
g
o
c
k
e
m
a
i
h
p
d
l
f
n
b
j
 21
g
e
h
f
o
m
p
n
c
a
d
b
k
i
l
j
 22
j
l
i
k
b
d
a
c
n
p
m
o
f
h
e
g
 23
k
c
o
g
i
a
m
e
l
d
p
h
j
b
n
f
 24
f
n
b
j
h
p
d
l
e
m
a
i
g
o
c
k
25
f
e
h
g
b
a
d
c
n
m
p
o
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l
k
 26
g
c
o
k
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d
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b
n
j
 27
k
l
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m
n
c
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a
b
g
h
e
f
 28
j
n
b
f
i
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a
e
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d
h
k
o
c
g
 29
j
i
l
k
n
m
p
o
b
a
d
c
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e
h
g
 30
g
h
e
f
c
d
a
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m
n
k
l
i
j
 31
f
b
n
j
e
a
m
i
h
d
p
l
g
c
o
k
 32
k
o
c
g
l
p
d
h
i
m
a
e
j
n
b
f

Werden a,b,c,...,o,p ersetzt durch 17-a,17-b,17-c,...,17-o,17-p, dann bleiben alle Quadrate magisch.

Beobachtung 1   Für keines der folgenden 16 Paare unterscheiden sich die Einträge um 8 (oder um -8):

(a|d), (b|c), (e|h), (f|g), (i|l), (j|k), (m|p), (n|o), (a|m), (e|i), (b|n), (f|j), (c|o), (g|k), (d|p), (h|l).

Beobachtung 2   Beträgt für eines der 16 Paare von Beobachtung 1 die Differenz der Einträge 4 (oder -4), dann gilt für den größeren Eintrag x dieses Paars: 7 < x < 13.

Beobachtung 3   Sei (x|y) eines der 16 Paare aus Beobachtung 1.
Wenn x = 4z+1, dann kann y nicht x+1 oder x+2 sein. Gilt x = 4z, dann kann y nicht x-1 oder x-2 sein. Ist y = 4z+1, dann kann x nicht y+1 oder y+2 sein und falls y = 4z, dann kann x nicht y-1 oder y-2 sein (z bezeichnet eine ganze Zahl).

Bemerkung 1   Die Beobachtungen 1 - 3 besagen, dass keines der 16 Eintragspaare aus Beobachtung 1 mit einem in Fig. 1 rot markiertem Wertepaar ausgefüllt werden kann. Umgekehrt, existiert für jedes der 16 Positionspaare und jedes grün markierte Wertepaar ein klassisches magisches 4x4 Quadrat mit diesen beiden Einträgen an den gewählten Positionen.

 12345678910 111213141516
1                 
2                 
3                 
4                 
5                 
6                 
7                 
8                 
9                 
10                 
11                 
12                 
13                 
14                 
15                 
16                 
  Fig. 1:

  Erlaubte Paare (grün)
  in Beobachtungen 1 - 3.

  Bei den rot markierten
  verbotenen Paaren (x|y)
  stimmen x-1 und y-1 in
  3 Ziffern überein, wenn sie
  als 4-ziffrige Binärzahlen:
  0000,0001,...,1111
  dargestellt werden.

Beobachtung 4  Es werden die folgenden 32 Paare von Positionen für Einträge betrachtet ("Positionsmenge II"):

(b|g), (c|f), (i|f), (e|j), (l|g), (h|k), (o|j), (n|k), (e|d), (o|d), (h|a), (n|a), (b|m), (l|m), (i|p), (c|p), (i|d), (n|d), (o|a), (l|a), (c|m), (h|m), (b|p), (e|p), (b|k), (c|j), (h|j), (l|f), (o|f), (n|g), (e|k), (i|g).
Ein Paar der Positionsmenge II kann genau dann mit einem Wertepaar (u|v) gefüllt werden, wenn (u|v) in Fig. 2 grün markiert ist
v
u 
 12345678910 111213141516
1                 
2                 
3                 
4                 
5                 
6                 
7                 
8                 
9                 
10                 
11                 
12                 
13                 
14                 
15                 
16                 
  Fig. 2:

  erlaubte (grün)
  Werte (u|v)
  für Positionsmenge II
  von Beobachtung 4

Beobachtung 5   Es sei (q|r) ein Eintragspaar eines klassischen magischen 4x4 Quadrats, wobei q zu einer Diagonalen gehört aber r nicht, und q und r in einer gemeinsamen Zeile oder Spalte liegen.
Mögliche Werte für (q|r) sind dann alle Paare (a|b), 0 < a,b < 17 (a ungleich b), mit den 6 Ausnahmen (6|5), (7|8), (8|7), (9|10), (10|9) und (11|12).

Beobachtung 6   Für jede Zeile oder Spalte (q|r|s|t) eines klassischen magischen 4x4 Quadrats ist die Quadratsumme q2 + r2 + s2 + t2 eine der 30 Zahlen:
302, 306, 310, 314, 318, 326, 330, 334, 342, 350, 354, 358, 362, 366, 370, 374, 378, 382, 386, 390, 398, 402, 406, 414, 426, 434, 438, 442, 462, oder 486.

Bemerkung 2  Da keine dieser 30 Zahlen ein Vielfaches von 4 ist, können p,q,r,s weder alle gerade noch alle ungerade sein. Zwei Einträge sind gerade und die anderen zwei sind ungerade.

Beobachtung 7   Es sei (q|r|s|t) eine Zeile oder Spalte eines klassischen magischen 4x4 Quadrats.
a) Der Term 1/24[(q-8.5)3 + (r-8.5)3 + (s-8.5)3 + (t-8.5)3] nimmt einen der 21 Werte an:
-12, -10, -9, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10 oder 12.
b) Der Term 1/24[(q'-3.5)3 + (r'-3.5)3 + (s'-3.5)3 + (t'-3.5)3] hat den Wert -1, 0 oder 1.
x' steht für (x-1) mod 8 (mit mod 8 ist der Rest bei Divison durch 8 gemeint).
c) (q"-1.5)3 + (r"-1.5)3 + (s"-1.5)3 + (t"-1.5)3 = 0, wobei x" = (x-1) mod 4.
d) Wenn q-1, r-1, s-1, und t-1 als 4-Bit Binärzahlen aus {0000,0001,...,1110,1111} geschrieben werden,
dann kommen in jeder der 4 Bit-Positionen die Ziffern 0 und 1 je genau zweimal vor.
e) genau zwei der Zahlen p,q,r,s sind kleiner als 9

Beobachtung 8   Es werden die folgenden 20 Vektoren natürlicher Zahlen berachtet ("Ausnahmevektoren"):
( 2| 6|11|15),( 2|11| 6|15),(15| 6|11| 2),(15|11| 6| 2),( 3| 6|11|14),( 3|11| 6|14),(14| 6|11| 3),(14|11| 6| 3),
( 5| 7|10|12),( 5|10| 7|12),(12| 7|10| 5),(12|10| 7| 5),( 7| 3|14|10),( 7|14| 3|10),(10| 3|14| 7),(10|14| 3| 7),
( 8| 4|13| 9),( 8|13| 4| 9),( 9| 4|13| 8),( 9|13| 4| 8).
 Keiner dieser Vektoren kann eine erste Zeile (letzte Zeile, erste oder letzte Spalte) eines klassischen magischen 4x4 Quadrats sein, aber jeder dieser 20 Vektoren erfüllt alle Bedingungen von Beobachtung 1-3, Beobachtung 5, Bemerkung 2 sowie Beobachtung 7b), 7d) und 7e); er kann deshhalb durch diese Bedingungen nicht ausgeschlossen werden.

 Satz 9   Gegeben seien vier natürliche Zahlen (q|r|s|t).
Es gibt ein klassisches magisches 4x4 Quadrat mit erster Zeile (letzter Zeile, erster Spalte, letzter Spalte) (q|r|s|t) genau dann, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
a) 0 < q,r,s,t < 17
b) q,r,s,t sind paarweise verschieden
c) q + r + s + t = 34
d) 1/24[(q'-3.5)3+(r'-3.5)3+(s'-3.5)3+(t'-3.5)3] hat einen Wert -1,0 oder 1 [x' = (x-1) mod 8]
e) keines der Paare (q|r), (q|s), (t|r) and (t|s) gleicht (6|5), (7|8), (8|7), (9|10), (10|9) oder (11|12)
f) (q|r|s|t) gehört nicht zu den 20 Ausnahmevektoren von Beobachtung 8
g) die Paare (q|t) und (r|s) sind erlaubte Paare im Sinne der Beobachtungen 1-3 (siehe Fig. 1)

Bemerkung 3   (q|r|s|t) tritt dann und nur dann als zweite Zeile (dritte Zeile, zweite oder dritte Spalte) eines klassischen magischen 4x4 Quadrats auf, wenn (r|q|t|s) eine mögliche erste Zeile ist.

Satz 10   Die Einträge eines klassischen magischen 4x4 Quadrats genügen folgenden Gleichungen:

d = 34 - a - b - c,
h = 34 - e - f - g,
j = 2a + b + c + e - g + i - 34,
k = 68 - 2a - b - c - e - f - i,
l = f + g - i,
m = 34 - a - e - i,
n = 68 - 2a - 2b - c - e - f + g - i,
o = 2a + b + e + f - g + i - 34, and
p = a + b + c + e + i - 34.

 Dies ergibt sich, wenn die 10 linearen Gleichungen Zeilensummen=34, Spaltensummen=34, Diagonalensummen=34 gelöst werden und die 7-dimensionale allgemeine Lösung durch die Variablen a,b,c,e,f,g and i ausgedrückt wird.

Bemerkung 4   Satz 10 zeigt, dass je vier Einträge in den grün markierten Bereichen stets die Summe 34 besitzen:
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p

Bemerkung 5   Alle linearen Gleichungen, die für die Einträge a,b,c, ..., o,p eines klassischen magischen 4x4 Quadrats immer bestehen, die Gleichungen von Satz 10 eingeschlossen, können mit dem unten stehenden "Kalkulator" (JavaScript erforderlich) gewonnen werden:
 
 
 
 
 
  
a
b
c
d
 
  
e
f
g
h
 
  
i
j
k
l
 
  
m
n
o
p
 
  
   
   
   
   
 
  
  

Ergebnis: 
 Beispiele: Die Gleichung a+b+c+d=34 ergibt sich durch Klick auf den "+"-Knopf von Zeile 1. Die Gleichung z.B. 2a+b+c+e+f+i+k=68, entsteht so: "+" für alle Zeilen, "-" für die Diagonale d-g-j-m, "+" für die Diagonale a-f-k-p, "-" für Zeile 4 und Spalte 4, "+" für Zeile 1 and Spalte 1, schließlich: "teilen".

Satz 11  
D = 680a+544b+408c+408e+544f+136g-18ab-12ac-10ae-14af+4ag-12bc-6be
 -10bf+4bg-4ce-4cf-10ef-4eg-4fg -15a2-11b2-8c2-7e2-11f2-8g2-10880

ist eine Quadratzahl. Ferner gilt   i = 1/4(136-5a-3b-2c-3e-f+2g + sqrt(D))  oder   i = 1/4(136-5a-3b-2c-3e-f+2g - sqrt(D)), dabei bezeichnet sqrt(D) die Quadratwurzel aus D.

 Dies folgt aus der Gleichung a2 + b2 + ... + o2 + p2 = 12 + 22 + ... + 152 + 162, denn Ersetzung von d,h,j,k,l,m,n,o, und p durch deren Ausdrücke aus Satz 10 ergibt eine quadratische Gleichung für i mit den genannten Lösungen.

Bemerkung 6  Die beiden Quadrate rechts zeigen, dass die Einträge a,b,c,e,f und g das magische Quadrat nicht vollständig bestimmen. Jedoch gibt es wegen Satz 11 höchstens 2 Quadrate mit diesen gemeinsamen Einträgen, weil es nicht mehr als 2 mögliche Werte für i gibt. Diese Werte lassen sich mit dem "Kalkulator" unten bestimmen (JavaScript erforderlich, "NaN" bedeutet: keine mögliche Zahl).  
 1 31416
1513 4 2
10 611 7
 812 5 9
 		   
 1 31416
1513 4 2
12 8 9 5
 610 711

Es gibt genau acht Paare klassischer magischer 4x4 Quadrate mit gleichen Werten für a,b,c,e,f aber verschiedenen Werten für g, diese sind:
(a,b,c,e,f,g1/g2) = (5,14,3,10,7,2/16), (7,10,15,14,5,4/12), (7,12,5,2,15,4/14), (7,12,5,14,3,2/16), und die vier Paare, die entstehen, wenn jeder Eintrag von 17 subtrahiert wird.
Der "Kalkulator" rechts berechnet den Wert für g aus denen für a,b,c,e und f (es wird ausgenutzt, dass D in Satz 11 eine Quadratzahl ist), falls keine Eingabe für g gemacht wurde. Wenn a,b,c,e,f,g zu einem klassischen magischen 4x4 Quadrat gehören, dann ist das Ergebnis für g stets eindeutig, mit Ausnahme der acht genannten Fälle. 		 
a b c d
e f g h
i j k l
m n o p


i =  

Bemerkung 7  In den Gleichungen für j,k,...,o,p von Satz 10 tritt i dreimal mit Vorzeichen "+" und viermal Vorzeichen "-" auf. Daher kann (nach erfolgter Vereinfachung) in der Summe der Kuben a3 + b3 + ... + o3 + p3 kein Term i3 vorkommen. Somit enthält eine geeignete Linearkombination der Gleichungen

( I) a2 + b2 + ... + o2 + p2 = 12 + 22 + ... + 152 + 162
(II) a3 + b3 + ... + o3 + p3 = 13 + 23 + ... + 153 + 163

[nämlich 51(I) - 2(II)] den Term i nur in 1. Potenz; dies ergibt eine weitere Beziehung zwischen i und den 6 Einträgen a,b,c,e,f,g. Das Ergebnis (vergl: [1], Gl. (2)) kann wie folgt beschrieben werden: setze x':=2x-17 für x=a,b,c,e,f,g,i, ferner: α:=a'+f', β:=b'+c', γ:=b'+f', δ:=f'+g', T:=αβ+αδ+βγ+δa', sowie U:=βγ+(β+δ)a', dann:
(e'+i')(δe'+T)=(g'-a'-α-β)U.

Beobachtung 12  

a) z=b+c+f+g ist eine gerade Zahl mit 17 < z < 51,
   und jedes solche z tritt als Summe b+c+f+g auf.

b) 21 < a+b+e+f < 47,
   und jede natürliche Zahl zwischen 21 and 47 kommt als Summe a+b+e+f vor.   
   Die erste Ungleichung folgt aus
       21 < (1 + 2 + 3 + 4 + 34)/2 ≤ (b + e + l + o + a + f + k + p)/2 = a + b + e + f.   

9 1816
1572 10
612133
414115
5 215 12
411 613
167101
91438

Beobachtung 13   Es gibt 32 x 220 = 7040 klassische magische 4x4 Quadrate (siehe Beobachtung 17).

Beobachtung 14   Betrachte die Quadrate
a'
b'
c'
d'
e'
f'
g'
h'
i'
j'
k'
l'
m'
n'
o'
p'

a) Gilt x' = (x-1) mod 8 + 1, dann hat für alle 7040 Quadrate jede Zeilen- und Spaltensumme den Wert 18. Für 5696 dieser Quadrate betragen die Diagonalensummen ebenfalls 18; es handelt sich um genau diejenigen Quadrate, die magisch bleiben, wenn folgender Austausch von Einträgen erfolgt: 1<->8, 2<->7, 3<->6, 4<->5, 9<->16, 10<->15, 11<->14, and 12<->13. Die 1. Diagonale von 672 Quadraten hat die Summme 10 und die 2. Diagonale die Summe 26; für 672 Quadrate hat die 1. Diagonale die Summe 26 und die andere Diagonale die Summe 10.

b) Gilt x' = (x-1) mod 4 + 1, dann hat für alle 7040 Quadrate jede Zeilen- und Spaltensumme den Wert 10. Für 5248 dieser Quadrate betragen die Diagonalensummen ebenfalls 10; es handelt sich um genau diejenigen Quadrate, die magisch bleiben, wenn folgender Austausch von Einträgen erfolgt: 1<->4, 2<->3, 5<->8, 6<->7, 9<->12, 10<->11, 13<->16, und 14<->15. Die 1. Diagonale von 896 Quadraten hat die Summme 6 und die 2. Diagonale die Summe 14; für 896 Quadrate hat die 1. Diagonale die Summe 14 und die andere Diagonale die Summe 6.

c) Gilt x' = (x-1) mod 2 + 1, dann hat für alle 7040 Quadrate jede Zeilen- und Spaltensumme den Wert 6. Für 5696 dieser Quadrate betragen die Diagonalensummen ebenfalls 6; es handelt sich um genau diejenigen Quadrate, die magisch bleiben, wenn folgender Austausch von Einträgen erfolgt: 1<->2, 3<->4, ...,13<->14, 15<->16. Die 1. Diagonale von 672 Quadraten hat die Summe 4und die 2. Diagonale die Summe 8; für 672 Quadrate hat die 1. Diagonale die Summe 8 und die andere Diagonale die Summe 4.
Es gibt genau 24 mögliche gerade-ungerade Verteilungen: (
 
 = ungerade, 
 
  = gerade):

    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    

Beobachtung 15  

a) Jedes klassische magische 4x4 Quadrat erfüllt mindestens eine und höchstens drei der folgenden fünf Gleichungen:
(1)
a+b+e+f=34
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
3456 Quadrate		(2)
a+b+m+n=34
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
2464 Quadrate 		(3)
a+c+m+o=34
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
2464 Quadrate 		(4)
a+d+e+h=34
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
2464 Quadrate		(5)
a+d+i+l=34
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
2464 Quadrate
Die Gleichungen (2) und (5) schließen sich gegenseitig aus, ebenso die Gleichungen (3) und (4). Daher können höchstens zwei der Gleichungen (2),(3),(4) oder (5) gelten. Die Gleichungen (2) und (4) zusammen ziehen (1) nach sich, ebenso folgt (1) aus (3) und (5).

b) Fig. 3 zeigt, dass sich Menge aller klassischen magischen 4x4 Quadrate in 15 Typen einteilen lässt:

TypAnzahlGl.(1)Gl.(2)Gl.(3)Gl.(4)Gl.(5)auch definiert durchspezielle Beschreibung
T01384janeinneinneinneina+p=17"zentralsymmetrisch": Drehung um 180o ersetzt jeden Eintrag x durch 17-x
T02384jajaneinjaneina+k=17"pandiagonal": jede gebrochene Diagonale hat Summe 34
T03384janeinjaneinjaa+f=17Austausch von Zeilen 1<->4 und Spalten 1<->4 ersetzt jeden Eintrag x durch 17-x
T04384jajaneinneinneina+b=17 und e+f=17 Austausch von Spalten 1<->2 und Spalten 3<->4 ersetzt jeden Eintrag x durch 17-x
T05384janeinjaneinneina+c=17 und i+k=17 Austausch von Spalten 1<->3 und Spalten 2<->4 ersetzt jeden Eintrag x durch 17-x
T06384janeinneinjaneina+e=17 und b+f=17 Austausch von Zeilen 1<->2 und Spalten 3<->4 ersetzt jeden Eintrag x durch 17-xx
T07384janeinneinjaneina+i=17 und c+k=17 Austausch von Zeilen 1<->3 und Spalten 2<->4 ersetzt jeden Eintrag x durch 17-x
T08384jajajaneinneina+m=17 und Gl.(1) Spiegelung an horizontaler Achse ersetzt jeden Eintrag x durch 17-x, Gl.(1) gilt
T09384janeinneinjajaa+d=17 und Gl.(1) Spiegelung an vertikaler Achse ersetzt jeden Eintrag x durch 17-x, Gl.(1) gilt
T10832neinjajaneinneina+m=17 und b+n=17 und nicht Gl.(1) Spiegelung an horizontaler Achse ersetzt jeden Eintrag x durch 17-x, Gl.(1) gilt nicht
T11832neinneinneinjajaa+d=17 und e+h=17 und nicht Gl.(1) Spiegelung an vertikaler Achse ersetzt jeden Eintrag x durch 17-x, Gl.(1) gilt nicht
T12480neinjaneinneinneina+k≠17 und b+n≠17 und
(a+b≠17 oder e+f≠17) und Gl.(2)		 
T13480neinneinjaneinneina+f≠17 und b+n≠17 und
(a+c≠17 oder i+k≠17) und Gl.(3)		 
T14480neinneinneinjaneina+k≠17 und e+h≠17 und
(a+e≠17 oder b+f≠17) und Gl.(4)		 
T15480neinneinneinneinjaa+f≠17 und e+h≠17 und
(a+i≠17 oder c+k≠17) und Gl.(5)		 

c) Die Menge aller 2432 "achsensymmetrischen" (Spiegelung ersetzt jeden Eintrag x durch 17-x) klassischen magischen 4x4 Quadrate ist die Vereinigungsmenge von T08, T10, T09, und T11.
Fig.3 hat zwei Symmetrieachsen: s1 von links unten nach rechts oben sowie s2 von links oben nach rechts unten. Spiegelung an s1 bedeutet eine 90o Drehung des Quadrats. Spiegelung an s2 bedeutet Austausch von Zeilen 1<->4 und Spalten 1<->4.

Beobachtung 16

a) Werden aus a,b,c,...,o,p vier verschiedene Variable w,x,y,z so ausgewählt, dass w+x+y+z=34 für mehr als 3456 der 7040 klassischen magischen 4x4 Quadrate gilt, dann bilden w,x,y,z notwendig eine Zeile, Spalte oder Diagonale, oder {w,x,y,z} ist eine der vier grün markierten Variablenmengen von Bemerkung 4.

b) Es gibt genau 86 verschiedene Summen w+x+y+z=34 mit w<x<y<z and 0<w,x,y,z<17, daher gibt es für ein gegebenes klassisches magisches 4x4 Quadrat 72 verschiedene Auswahlmöglichkeiten für Einträge w,x,y,z - zusätzlich zu den 14 Auswahlmöglichkeiten aus a) - so dass w+x+y+z=34 gilt.
Es gibt acht nicht-triviale Auswahlmuster von vier Einträgen, für welche keines der 7040 klassischen magischen 4x4 Quadrate die Summe 34 haben kann. [Triviale "≠34"-Muster: genau drei der vier Einträge gehören zu einer der in a) genannten 14 Muster]. Stets gilt:

(1) a+b+m+o≠34,   (2) a+b+n+o≠34,   (3) a+b+n+p≠34,   (4) a+d+f+j≠34,
(5) b+c+e+i≠34,   (6) b+c+e+l≠34,   (7) b+c+e+n≠34,   (8) b+c+e+o≠34 

für jedes klassische magische 4x4 Quadrat, ebenso, wie jede Ungleichung, die sich aus (1) bis (8) ergibt durch eine der 31 Transformationen von Beobachtung 0.

  u  v
  pon m lkj i hgf e dcb a
a x   z  x wy  w xy zy y 
b  x z  x  yw w  yx yz  y
c  z x  wy  x xy  w y  zy
d z   x yw x  yx w   y yz
e  x wy x   z zy y   w xy
f x  yw  x z  yz  y w  yx
g wy  x  z x  y  zy xy  w
h yw x  z   x  y yz yx w 
i  w xy zy y  x   z  x wy
j w  yx yz  y  x z  x  yw
k xy  w y  zy  z x  wy  x
l yx w   y yz z   x yw x 
m zy y   w xy  x wy x   z
n yz  y w  yx x  yw  x z 
o y  zy xy  w wy  x  z x 
p  y yz yx w  yw x  z   x
   Anzahl
klassischer magischer
4x4 Quadrate
mit

u + v = 17



 
w
x
y
z
     0 Quadrate 
   32 Quadrate 
  384 Quadrate 
  624 Quadrate 
 1664 Quadrate 
Beobachtung 17

Sei (u|v) ein Paar von Positionen von Einträgen eines magischen 4x4 Quadrats, u,v aus {a,b,c,...,o,p}, u≠v.
Es existieren genau 5 Möglichkeiten für die Anzahl N klassischer magischer 4x4 Quadrate mit u + v = 17:

N=0, N=32, N=384, N=624, or N=1664.

Für jedes Positionspaar (u|v) ist die zugehörige Anzahl N klassischer magischer 4x4 Quadrate mit u + v = 17 in der Tabelle rechts angegeben.

(Notabene: das rote Muster gleicht dem in Fig. 1 von Bemerkung 1)







Beobachtung 18 (Reduzierte Quadrate)

Ein klassisches magisches 4x4 Quadrat heißt "reduziert" wenn es die folgenden Ungleichungen erfüllt:

      a ≤ 5
      a < d,f,g,j,k,m,p
      d < m
      b < c.

Durch eine geeignete der 31 Transformationen von Beobachtung 0 kann jedes (nicht bereits reduzierte) klassische magische 4x4 Quadrat auf ein eindeutig bestimmtes reduziertes magisches 4x4 Quadrat abgebildet werden. Es gibt genau 220 reduzierte klassische magische 4x4 Quadrate, im Einzelnen:

    104 reduzierte Quadrate mit a = 1
     68 reduzierte Quadrate mit a = 2
     32 reduzierte Quadrate mit a = 3
     10 reduzierte Quadrate mit a = 4
      6 reduzierte Quadrate mit a = 5.


Beobachtung 19 (Das Problem der 16 Damen)

Es wird ein 16x16 Schachbrett betrachtet, auf dem 16 Damenfiguren platziert sind. Die erste der Damen steht in Zeile 1 und Spalte a, die zweite Dame in Zeile 2 und Spalte b, ..., die sechzehnte Dame in Zeile 16 und Spalte p. Das magische Quadrat mit den Einträgen a, b, c, ..., p "löst das Problem der 16 Damen", wenn keine der Damen auf dem Brett eine andere Dame bedroht.
Es existieren genau 16 klassische magische 4x4 Quadrate, die das Problem der 16 Damen lösen:

49 516
147112
156103
112813
4 9 156
147112
516103
112813
511 414
108151
16297
313612
79 216
144115
126133
115810
714 211
94165
121138
615310
714 121
94615
211138
165310
810 133
115126
115216
14479
IIIIII IVVVI VII

sowie II um 90o, 180o, 270o gedreht, ferner I, III, IV, V, VI, und VII um 180o gedreht.

Beweise   per Computer, z.B. mit einem Programm das alle klassischen magischen 4x4 Quadrate liefert.