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Pythagoräische Tripel
Ein pythagoräisches Tripel ("pT") besteht aus drei natürlichen Zahlen x, y und z
mit x2 + y2 = z2. Interessant sind "teilerfremde" pT,
bei denen x, y und z den größten gemeinsamen Teiler 1 besitzen ("ppT").
Satz 1
Jedes pT läßt sich auf genau eine Weise durch Multiplikation aus einem ppT
und einer natürlichen Zahl gewinnen.
Satz 2
In jedem ppT ( x | y | z ) ist eine der Zahlen x oder y ("Katheten") gerade und die andere ungerade.
(Es sei x immer die ungerade Kathete.)
Satz 3
Zu jedem ppT ( x | y | z ) gibt es genau ein Paar ( m | n ) natürlicher teilerfremder
Zahlen mit m < n und ungleicher
Parität (dh. eine der Zahlen ist gerade und die andere ungerade) so dass gilt:
x = n2 - m2, y = 2mn , z = n2 + m2
bzw. 1/2(z - x) = m2,
1/2(z + x) = n2.
Satz 4
Aus dem ppT ( 3 | 4 | 5 ) läßt sich jedes andere ppT auf genau eine Weise gewinnen
durch eine Abfolge ("Sequenz") von Abbildungen A, B oder C, die hintereinander auf ( 3 | 4 | 5 )
angewendet werden mit den Abbildungsvorschriften:
A: (x|y|z) --> ( x-2y+2z| 2x-y+2z| 2x-2y+3z) [bzw. (m|n) --> (n|2n-m)]
B: (x|y|z) --> ( x+2y+2z| 2x+y+2z| 2x+2y+3z) [bzw. (m|n) --> (n|2n+m)]
C: (x|y|z) --> (-x+2y+2z|-2x+y+2z|-2x+2y+3z) [bzw. (m|n) --> (m|2m+n)]
weiteres zu den Paaren ( m | n ) und den Abbildungen A, B, C siehe: Zahlentheorie interaktiv ..
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