Kerne Magischer Quadrate
© H.B. Meyer         Magische Quadrate und Würfel

Fig.1
25 1 21423
1812 31022
 7201517 6
111324 8 9
 4192116 5


 ist ein (klassisches) magisches 5x5-Quadrat:
 - jede der Zahlen 1, 2, ..., 25 kommt vor
 - die 5 Zeilen-, 5 Spalten- und 2 Diagonalensummen sind gleich (=65).




Das Quadrat in Fig.1 hat einen "[4]-Kern" ([4]-nc), nämlich Fig.2.
D.h.: Fig.1 ist das einzige magische 5x5-Quadrat mit
diesen 4 Einträgen an den 4 durch Fig.2 vorgeschriebenen Plätzen.
Fig.2 bestimmt eindeutig die Fig.1.
(Beweis mittels Computerexperiment, siehe hier).
  Fig.2
   
  1 2 14 
   3  
     
     
     

Definition Eine Auswahl von k Plätzen, versehen mit with k Einträgen aus {1, 2, ..., n} in einer nxn Tabelle heißt [k]-Kern ([k]-nc) (für die nxn Tabelle), wenn es genau ein magisches nxn-Quadrat gibt mit den gegebenen k Einträgen an den vogegebenen k Plätzen.
Ein [k]-nc heißt minimal wenn kein Eintrag fortgelassen werden kann, ohne dass die Eindeutigkeit des magischen Lösungsquadrats verloren geht.

Beispiel Fig.3 ist ein minimaler [8]-nc.
Es gibt genau ein magisches 5x5-Quadrat mit diesen Vorgaben, aber
wenn einer der Einträge 7, 12, 5, 25, 20, 23, 18 oder 3 fortfällt,
dann gibt es stets mehrere Lösungen.
  Fig.3
   
 712 5 25 
202318 3 
     
     
     

Bei magischen 5x5-Quadraten sind [4]-nc's anscheinend ziemlich selten. Das Quadrat
Fig.4
 1 3241522
19171410 5
201813 8 6
211612 9 7
 411 22325

(das lexikographisch erste zentralsymmetrische magische 5x5-Quadrat) besitzt keinen [4]-nc, es hat sogar keinen [5]-nc. Für jede Auswahl von 5 der 25 Plätze in Fig.4 gibt es ein zweites, von Fig.4 verschiedenes, magisches 5x5-Quadrat, dessen Einträge an den 5 ausgewählten Plätzen mit denen von Fig.4 übereinstimmen (Beweis per Computerexperiment). Hingegen bilden die 6 Einträge 1, 3, 10, 14, 18, und 23 in Fig.4 ein [6]-nc für Fig.4.

Andererseits gibt es magische 5x5-Quadrate mit wenigstens zwei verschiedenen [4]-nc's. Ein Beispiel ist:
Fig.5
 4172415 5
10141618 7
2312 1 920
 6191121 8
22 313 225
  mit den beiden [4]-nc's  
Fig.6
 4  15  5
 14   
   1  
     
     

hierbei sind die unterstrichenen Einträge 14 oder 15 alternativ zu nehmen.

Beobachtung Jedes Bild eines [k]-nc unter irgendeiner Abbildung, die aus jedem magischen nxn-Quadrat wieder ein magisches nxn-Quadrat macht, ist ebenfalls ein [k]-nc. Ein Set aus einer nxn-Tabelle augewählter k Plätze, das unter solch einer (von der Identität verschiedenen) Abbildung invariant bleibt, kann nicht zu einem [k]-nc gehören.

Proposition Es existiert kein magisches 5x5-Quadrat mit einem [3]-nc. Das bedeutet: Für jede Auswahl dreier Plätze aus einer 5x5-Tabelle und jede Wahl dreier Zahlen aus{1, 2, ..., 25} als Einträge, gibt es entweder kein oder mehr als ein magisches 5x5-Quadrat mit den vorgegebenen 3 Einträgen an den ausgewählten 3 Plätzen.
Beweis mittels Computerexperiment. Es reicht hin, paarweise inäquivalente Sets aus 3 Plätzen zu betrachten, wobei zwei Dreier-Sets äquivalent sind, wenn sie durch eine der 32 Abbildungen magischer 5x5-Quadrate auf einander abgebildet werden. Man braucht lediglich solche Dreier-Sets zu betrachten, die nicht unter einer solchen, von der Identität verschiedenen, Abbildung invariant sind Insgesamt sind nur 71 Sets aus 3 Plätzen zu kontrollieren.

Problem Man finde eine Verteilung der Zahlen 1, 2, 3, and 4 in einer 5x5-Tabelle, die ein [4]-nc ergibt.

Die Situation der [k]-nc's ähnelt der Situation beim SUDOKU: Wesentlich ist die Eindeutigkeit der Lösung für die vorgegebenen Einträge.

Die Datei "nc.htm" (auch als Excel-Datei "nc.xls") enthält in ihrer ersten Tabelle "4-nc's" eine Sammlung einiger [4]-nc's für magische 5x5-Quadrate.

Verallgemeinerung Eine Auswahl von k Plätzen, versehen mit k Einträgen aus {1, 2, ..., n} in einer nxn-Tabelle heißt ein [k]-[m]-Kern ([k]-[m]-nc) (für die nxn-Tabelle), wenn genau m magische nxn-Quadrate existieren mit den gegebenen k Einträgen an den vorgegebenen k Plätzen (ein [k]-[1]-nc ist ein [k]-nc).

Beispiel

Fig.7  
 1    10
   9  
   2  
     
     
  
Es gibt genau 101 magische 5x5 Quadrate mit den Einträgen von Fig.7, daher handelt es sich um einen [4]-[101]-nc.
Die zweite Tabelle "1-101" der Datei "nc.htm" enthält ausgewählte [4]-[m]-nc's for m = 1, 2, ..., 101 zur Bestimmung magischer 5x5-Quadrate.
In der dritten Tabelle "rows" finden sich diese [4]-[m]-nc's geschrieben als Zeilen der Länge 25.

Magische 4x4-Quadrate:

Proposition Kein magisches 4x4-Quadrat besitzt einen [2]-nc. Genau 88x32 = 2816 der 7040 magischen 4x4-Quadrate haben einen [3]-nc, die übrigen 4224 magischen 4x4-Quadrate besitzen einen [4]-nc.
Die Quadrate mit [3]-nc gehören zu den Dudeney-Typen VI, VII, ..., XII, Quadrate der Dudeney-Typen I, II , III, IV und V erlauben keine [3]-nc's.
Beweis durch Computerexperiment. Es reicht aus, die 220 reduzierten
magischen 4x4 Quadrate zu betrachten mit a≤5, a<d,f,g,j,k,m,p und d<m sowie b<c.
   Fig.8
 
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
  

Probleme
a) Finde eine Verteilung der Zahlen 1, 2 und 3 in einer 4x4-Tabelle, die einen [3]-nc liefert.
b) Finde eine Verteilung der Zahlen 1, 2, 3 und 4 in einer 4x4-Tabelle, die einen minimalen [4]-nc ergibt.

In der Tabelle "88" der Datei "nc.htm" kann man die 88 reduzierten magischen 4x4-Quadrate mit [3]-nc finden in in zeilenweiser Darstellung, zusammen mit den Einträgen ihrer ausgewählten [3]-nc's und ihrer Dudeney-Typen.
Die Tabelle "220" enthält sämtliche 220 reduzierten magischen 4x4-Quadrate zusammen mit den Einträgen ihrer [3]- bzw. [4]-nc's.

Magische 6x6-Quadrate Die Konstruktion von [k]-nc's mit kleinem k oder von minimalen [k]-nc's für großes k für nxn-Tabellen mit 6≤n, scheint sehr schwierig zu sein (siehe "Herausforderungen" unten).

Fig.9
 1     4
  2  12 
   3   
   5  16
 25    
      
  Fig.9, gefunden von W. Trump, stellt einen [8]-nc
  dar, mit der einzigen Lösung Fig.10.  
  (Der Eintrag 16 ist nötig wegen der Austauschmöglichkeit 20 ↔ 21 und 16 ↔ 17.) 
Fig.10
 129311828 4
26 230141227
2024 3321517
2122 5341316
102523 73511
33 919 6 836
Fig.11 ist ein minimaler [15]-nc, keiner
der 15 Einträge kann fortgelassen werden.
(Beweis per Computerexperiment, siehe hier.)
  Fig.11
   
 71523 34  
18 812  2  
26122930   
   624 25
      
      
Fixpunkte
Definition Werden die Einträge einer nxn-Tabelle
von oben links nach unten rechts bezeichnet mit c(1), c(2), ..., c(n2),
dann heißt ein Eintrag mit c(i) = i ein Fixpunkt.

Fig.12 ist ein magisches 6x6-Quadrat mit einem (nicht minimalem) [18]-nc,
der nur aus Fixpunkten besteht.
  Fig.12
   
 13335  432 6
27 819 341112
24141516 1725
 52021221330
2326 32829 2
311016 7 936


Es gibt genau vier magische 5x5-Quadrate mit 13 Fixpunkten
(ebenfalls von W. Trump gefunden),
und es gibt kein magisches 5x5-Quadrat mit mehr als 13 Fixpunkten.
  Fig.13
   
 11524  421
23 7 81710
201213 14 6
16 9 1819 3
 522 211 25
  Fig.14
   
 121  3 1822
24 715  910
2012 1314 6
16 171119 2
 4 823 5 25
  Fig.15
   
 12124  415
17 7 8 2310
201213 14 6
16 318 19 9
1122 2 5 25
  Fig.16
   
25 222 11 5
 619  8 923
101213 1416
 31718  720
2115 4 24 1
 Fig.17
1
15
14
4
12
6
7
9
8
10
11
5
13
3
2
16
  Magische 4x4-Quadrate können nicht mehr als acht Fixpunkte besitzen.

Herausforderungen
a) Besitzt jedes magische 5x5-Quadrat einen [6]-nc ?
b) Gibt es ein magisches 5x5-Quadrat mit einem minimalen [k]-nc für 9≤k ?
c) Wie lautet die kleinste Zahl k, für die es kein magisches 6x6-Quadrat mit einem [k-1]-nc gibt ?
d) Bestimme die größte Zahl k, für die ein magisches 6x6-Quadrat mit einem minimalen [k]-nc existiert.
e) Wie lautet die kleinste Zahl k für die jedes magische 6x6-Quadrat einen [k]-nc besitzt ?
f) Wie viele Fixpunkte kann ein magisches nxn-Quadrat für 6 ≤ n höchstens haben ?

Letzte Aktualisierung: 20. Oktober 2018