Kerne Magischer Quadrate
© H.B. Meyer         Magische Quadrate und Würfel

Fig.1

25  1  2 14 23 18 12  3 10 22  7 20 15 17  6 11 13 24  8  9  4 19 21 16  5

 ist ein (klassisches) magisches 5x5-Quadrat:
 - jede der Zahlen 1, 2, ..., 25 kommt vor
 - die 5 Zeilen-, 5 Spalten- und 2 Diagonalensummen sind gleich (=65).

Das Quadrat in Fig.1 hat einen "[4]-Kern" ([4]-nc), nämlich Fig.2. D.h.: Fig.1 ist das einzige magische 5x5-Quadrat mit diesen 4 Einträgen an den 4 durch Fig.2 vorgeschriebenen Plätzen. Fig.2 bestimmt eindeutig die Fig.1. (Beweis mittels Computerexperiment, siehe hier).

Fig.2        1  2 14        3

Definition Eine Auswahl von k Plätzen, versehen mit with k Einträgen aus {1, 2, ..., n} in einer nxn Tabelle heißt [k]-Kern ([k]-nc) (für die nxn Tabelle), wenn es genau ein magisches nxn-Quadrat gibt mit den gegebenen k Einträgen an den vogegebenen k Plätzen.
Ein [k]-nc heißt minimal wenn kein Eintrag fortgelassen werden kann, ohne dass die Eindeutigkeit des magischen Lösungsquadrats verloren geht.

Beispiel Fig.3 ist ein minimaler [8]-nc. Es gibt genau ein magisches 5x5-Quadrat mit diesen Vorgaben, aber wenn einer der Einträge 7, 12, 5, 25, 20, 23, 18 oder 3 fortfällt, dann gibt es stets mehrere Lösungen.

Fig.3      7 12  5 25   20 23 18  3

Bei magischen 5x5-Quadraten sind [4]-nc's anscheinend ziemlich selten. Das Quadrat

Fig.4

1  3 24 15 22 19 17 14 10  5 20 18 13  8  6 21 16 12  9  7  4 11  2 23 25

(das lexikographisch erste zentralsymmetrische magische 5x5-Quadrat) besitzt keinen [4]-nc, es hat sogar keinen [5]-nc. Für jede Auswahl von 5 der 25 Plätze in Fig.4 gibt es ein zweites, von Fig.4 verschiedenes, magisches 5x5-Quadrat, dessen Einträge an den 5 ausgewählten Plätzen mit denen von Fig.4 übereinstimmen (Beweis per Computerexperiment). Hingegen bilden die 6 Einträge 1, 3, 10, 14, 18, und 23 in Fig.4 ein [6]-nc für Fig.4.

Andererseits gibt es magische 5x5-Quadrate mit wenigstens zwei verschiedenen [4]-nc's. Ein Beispiel ist:

Fig.5  4 17 24 15  5 10 14 16 18  7 23 12  1  9 20  6 19 11 21  8 22  3 13  2 25

mit den beiden [4]-nc's

Fig.6  4     15  5   14            1

hierbei sind die unterstrichenen Einträge 14 oder 15 alternativ zu nehmen.

Beobachtung Jedes Bild eines [k]-nc unter irgendeiner Abbildung, die aus jedem magischen nxn-Quadrat wieder ein magisches nxn-Quadrat macht, ist ebenfalls ein [k]-nc. Ein Set aus einer nxn-Tabelle augewählter k Plätze, das unter solch einer (von der Identität verschiedenen) Abbildung invariant bleibt, kann nicht zu einem [k]-nc gehören.

Proposition Es existiert kein magisches 5x5-Quadrat mit einem [3]-nc. Das bedeutet: Für jede Auswahl dreier Plätze aus einer 5x5-Tabelle und jede Wahl dreier Zahlen aus{1, 2, ..., 25} als Einträge, gibt es entweder kein oder mehr als ein magisches 5x5-Quadrat mit den vorgegebenen 3 Einträgen an den ausgewählten 3 Plätzen.
Beweis mittels Computerexperiment. Es reicht hin, paarweise inäquivalente Sets aus 3 Plätzen zu betrachten, wobei zwei Dreier-Sets äquivalent sind, wenn sie durch eine der 32 Abbildungen magischer 5x5-Quadrate auf einander abgebildet werden. Man braucht lediglich solche Dreier-Sets zu betrachten, die nicht unter einer solchen, von der Identität verschiedenen, Abbildung invariant sind Insgesamt sind nur 71 Sets aus 3 Plätzen zu kontrollieren.

Problem Man finde eine Verteilung der Zahlen 1, 2, 3, and 4 in einer 5x5-Tabelle, die ein [4]-nc ergibt.

Die Situation der [k]-nc's ähnelt der Situation beim SUDOKU: Wesentlich ist die Eindeutigkeit der Lösung für die vorgegebenen Einträge.

Die Datei "nc.htm" (auch als Excel-Datei "nc.xls") enthält in ihrer ersten Tabelle "4-nc's" eine Sammlung einiger [4]-nc's für magische 5x5-Quadrate.

Verallgemeinerung Eine Auswahl von k Plätzen, versehen mit k Einträgen aus {1, 2, ..., n} in einer nxn-Tabelle heißt ein [k]-[m]-Kern ([k]-[m]-nc) (für die nxn-Tabelle), wenn genau m magische nxn-Quadrate existieren mit den gegebenen k Einträgen an den vorgegebenen k Plätzen (ein [k]-[1]-nc ist ein [k]-nc).

Beispiel

Fig.7    1       10      9          2

Es gibt genau 101 magische 5x5 Quadrate mit den Einträgen von Fig.7, daher handelt es sich um einen [4]-[101]-nc. Die zweite Tabelle "1-101" der Datei "nc.htm" enthält ausgewählte [4]-[m]-nc's für m = 1, 2, ..., 101 zur Bestimmung magischer 5x5-Quadrate. In der dritten Tabelle "rows" finden sich diese [4]-[m]-nc's geschrieben als Zeilen der Länge 25.

Magische 4x4-Quadrate:

Proposition Kein magisches 4x4-Quadrat besitzt einen [2]-nc. Genau 88x32 = 2816 der 7040 magischen 4x4-Quadrate haben einen [3]-nc, die übrigen 4224 magischen 4x4-Quadrate besitzen einen [4]-nc.
Die Quadrate mit [3]-nc gehören zu den Dudeney-Typen VI, VII, ..., XII, Quadrate der Dudeney-Typen I, II , III, IV und V erlauben keine [3]-nc's.

Beweis durch Computerexperiment. Es reicht aus, die 220 reduzierten magischen 4x4 Quadrate zu betrachten mit a≤5, a<d,f,g,j,k,m,p und d<m sowie b<c.

Fig.8   a b c d e f g h i j k l m n o p

Probleme
a) Finde eine Verteilung der Zahlen 1, 2 und 3 in einer 4x4-Tabelle, die einen [3]-nc liefert.
b) Finde eine Verteilung der Zahlen 1, 2, 3 und 4 in einer 4x4-Tabelle, die einen minimalen [4]-nc ergibt.

In der Tabelle "88" der Datei "nc.htm" kann man die 88 reduzierten magischen 4x4-Quadrate mit [3]-nc finden in in zeilenweiser Darstellung, zusammen mit den Einträgen ihrer ausgewählten [3]-nc's und ihrer Dudeney-Typen.
Die Tabelle "220" enthält sämtliche 220 reduzierten magischen 4x4-Quadrate zusammen mit den Einträgen ihrer [3]- bzw. [4]-nc's.

Magische 6x6-Quadrate Die Konstruktion von [k]-nc's mit kleinem k oder von minimalen [k]-nc's für großes k für nxn-Tabellen mit 6≤n, scheint sehr schwierig zu sein (siehe "Herausforderungen" unten).

Fig.9  1          4    2     12        3            5     16   25

Fig.9, gefunden von W. Trump, stellt einen [8]-nc   dar, mit der einzigen Lösung Fig.10.     (Der Eintrag 16 ist nötig wegen der Austauschmöglichkeit 20 ↔ 21 und 16 ↔ 17.)

Fig.10  1 29 31 18 28  4 26  2 30 14 12 27 20 24  3 32 15 17 21 22  5 34 13 16 10 25 23  7 35 11 33  9 19  6  8 36

Fig.11 ist ein minimaler [14]-nc, keiner der 14 Einträge kann fortgelassen werden. (Beweis per Computerexperiment, siehe hier.)

Fig.11      7 15 23 34     18  8 33       26 12 29 30          6 24   25

Fixpunkte

Definition Werden die Einträge einer nxn-Tabelle von oben links nach unten rechts bezeichnet mit c(1), c(2), ..., c(n2), dann heißt ein Eintrag mit c(i) = i ein Fixpunkt. Fig.12 ist ein magisches 6x6-Quadrat mit einem (nicht minimalem) [18]-nc, der nur aus Fixpunkten besteht.

Fig.12      1 33 35  4 32  6 27  8 19 34 11 12 24 14 15 16 17 25  5 20 21 22 13 30 23 26  3 28 29  2 31 10 16  7  9 36

Es gibt genau vier magische 5x5-Quadrate mit 13 Fixpunkten (ebenfalls von W. Trump gefunden), und es gibt kein magisches 5x5-Quadrat mit mehr als 13 Fixpunkten.

Fig.13      1 15 24  4 21 23  7  8 17 10 20 12 13 14  6 16  9 18 19  3  5 22  2 11 25

Fig.14      1 21  3 18 22 24  7 15  9 10 20 12 13 14  6 16 17 11 19  2  4  8 23  5 25

Fig.15      1 21 24  4 15 17  7  8 23 10 20 12 13 14  6 16  3 18 19  9 11 22  2  5 25

Fig.16     25  2 22 11  5  6 19  8  9 23 10 12 13 14 16  3 17 18  7 20 21 15  4 24  1

Fig.17 1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 16

Magische 4x4-Quadrate können nicht mehr als acht Fixpunkte besitzen.

Herausforderungen
a) Besitzt jedes magische 5x5-Quadrat einen [6]-nc ?
b) Gibt es ein magisches 5x5-Quadrat mit einem minimalen [k]-nc für 9≤k ?
c) Wie lautet die kleinste Zahl k, für die es kein magisches 6x6-Quadrat mit einem [k-1]-nc gibt ?
d) Bestimme die größte Zahl k, für die ein magisches 6x6-Quadrat mit einem minimalen [k]-nc existiert.
e) Wie lautet die kleinste Zahl k für die jedes magische 6x6-Quadrat einen [k]-nc besitzt ?
f) Wie viele Fixpunkte kann ein magisches nxn-Quadrat für 6 ≤ n höchstens haben ?

Letzte Aktualisierung: 20. Oktober 2018